Theorem hlhillvec 39089

Description: The final constructed Hilbert space is a vector space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhillvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem hlhillvec

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhillvec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 38247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
5		eqidd 2824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
6		hlhillvec.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	1, 6, 3, 2, 7	hlhilbase 39074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
9		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11		eqidd 2824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))
12		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13	1, 2, 9, 6, 10, 3, 12	hlhilsbase2 39080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
14		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 6, 3, 2, 14	hlhilplus 39075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘𝑈))
16	15	oveqdr 7186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑈)𝑦))
17		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
18	1, 2, 9, 6, 10, 3, 17	hlhilsplus2 39081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘𝑈)))
19	18	oveqdr 7186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑦))
20		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
21	1, 2, 9, 6, 10, 3, 20	hlhilsmul2 39082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘𝑈)))
22	21	oveqdr 7186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))) → (𝑥(.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝑈))𝑦))
23		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
24	1, 2, 23, 6, 3	hlhilvsca 39085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
25	24	oveqdr 7186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑦))
26	5, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 19, 22, 25	lvecprop2d 19940	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec ↔ 𝑈 ∈ LVec))
27	4, 26	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  LVecclvec 19876  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  HLHilchlh 39070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lvec 19877  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dvech 38217  df-hlhil 39071

This theorem is referenced by:  hlhilphllem  39097