Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilslem 36710
 Description: Lemma for hlhilsbase2 36714. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilslem.f 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslem.1 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslem.2 𝑁 < 4
hlhilslem.c 𝐶 = (𝐹𝐸)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem (𝜑𝐶 = (𝐹𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3 𝐶 = (𝐹𝐸)
2 hlhilslem.f . . . . 5 𝐹 = Slot 𝑁
3 hlhilslem.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
42, 3ndxid 15805 . . . 4 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
53nnrei 10973 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
6 hlhilslem.2 . . . . . 6 𝑁 < 4
75, 6ltneii 10094 . . . . 5 𝑁 ≠ 4
82, 3ndxarg 15804 . . . . . 6 (𝐹‘ndx) = 𝑁
9 starvndx 15925 . . . . . 6 (*𝑟‘ndx) = 4
108, 9neeq12i 2856 . . . . 5 ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
117, 10mpbir 221 . . . 4 (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
124, 11setsnid 15836 . . 3 (𝐹𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
131, 12eqtri 2643 . 2 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14 hlhilslem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 hlhilslem.u . . . . 5 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16 hlhilslem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hlhilslem.e . . . . 5 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18 eqid 2621 . . . . 5 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19 eqid 2621 . . . . 5 (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
2014, 15, 16, 17, 18, 19hlhilsca 36707 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21 hlhilslem.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
2220, 21syl6eqr 2673 . . 3 (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
2322fveq2d 6152 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹𝑅))
2413, 23syl5eq 2667 1 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   < clt 10018  ℕcn 10964  4c4 11016  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Slot cslot 15780  *𝑟cstv 15864  Scalarcsca 15865  HLchlt 34117  LHypclh 34750  EDRingcedring 35521  HGMapchg 36655  HLHilchlh 36704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-hlhil 36705 This theorem is referenced by:  hlhilsbase  36711  hlhilsplus  36712  hlhilsmul  36713
 Copyright terms: Public domain W3C validator