Theorem hlhilslem 39073

Description: Lemma for hlhilsbase2 39077. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilslem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilslem.f	⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslem.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslem.2	⊢ 𝑁 < 4
hlhilslem.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
hlhilslem	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)
2		hlhilslem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
3		hlhilslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxid 16508	. . . 4 ⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
5	3	nnrei 11646	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		hlhilslem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 4
7	5, 6	ltneii 10752	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ 4
8	2, 3	ndxarg 16507	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ndx) = 𝑁
9		starvndx 16622	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
10	8, 9	neeq12i 3082	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
11	7, 10	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
12	4, 11	setsnid 16538	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
13	1, 12	eqtri 2844	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14		hlhilslem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		hlhilslem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16		hlhilslem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hlhilslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	hlhilsca 39070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21		hlhilslem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22	20, 21	syl6eqr 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹‘𝑅))
24	13, 23	syl5eq 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ⟨cop 4572   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   < clt 10674  ℕcn 11637  4c4 11693  ndxcnx 16479   sSet csts 16480  Slot cslot 16481  *_𝑟cstv 16566  Scalarcsca 16567  HLchlt 36485  LHypclh 37119  EDRingcedring 37888  HGMapchg 39018  HLHilchlh 39067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-hlhil 39068

This theorem is referenced by:  hlhilsbase  39074  hlhilsplus  39075  hlhilsmul  39076