Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilsrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilsrnglem 37747
 Description: Lemma for hlhilsrng 37748. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhildrng.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsrng.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsrng.s 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsrng.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
hlhilsrng.p + = (+g𝑆)
hlhilsrng.t · = (.r𝑆)
hlhilsrng.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
hlhilsrnglem (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)

Proof of Theorem hlhilsrnglem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilsrng.l . . 3 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilsrng.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
4 hlhillvec.u . . 3 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5 hlhildrng.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hlhillvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 hlhilsrng.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilsbase2 37736 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
9 hlhilsrng.p . . 3 + = (+g𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9hlhilsplus2 37737 . 2 (𝜑+ = (+g𝑅))
11 hlhilsrng.t . . 3 · = (.r𝑆)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11hlhilsmul2 37738 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
13 hlhilsrng.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
141, 4, 5, 13, 6hlhilnvl 37744 . 2 (𝜑𝐺 = (*𝑟𝑅))
151, 4, 6, 5hlhildrng 37746 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
16 drngring 18956 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
1715, 16syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
186adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
201, 2, 3, 7, 13, 18, 19hgmapcl 37683 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐵)
2163ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 simp2 1132 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
23 simp3 1133 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
241, 2, 3, 7, 9, 13, 21, 22, 23hgmapadd 37688 . 2 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐺𝑥) + (𝐺𝑦)))
251, 2, 3, 7, 11, 13, 21, 22, 23hgmapmul 37689 . 2 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐺‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑥)))
261, 2, 3, 7, 13, 18, 19hgmapvv 37720 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
278, 10, 12, 14, 17, 20, 24, 25, 26issrngd 19063 1 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  Scalarcsca 16146  Ringcrg 18747  DivRingcdr 18949  *-Ringcsr 19046  HLchlt 35140  LHypclh 35773  DVecHcdvh 36869  HGMapchg 37677  HLHilchlh 37726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-riotaBAD 34742 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-undef 7568  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lsatoms 34766  df-lshyp 34767  df-lcv 34809  df-lfl 34848  df-lkr 34876  df-ldual 34914  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tgrp 36533  df-tendo 36545  df-edring 36547  df-dveca 36793  df-disoa 36820  df-dvech 36870  df-dib 36930  df-dic 36964  df-dih 37020  df-doch 37139  df-djh 37186  df-lcdual 37378  df-mapd 37416  df-hvmap 37548  df-hdmap1 37585  df-hdmap 37586  df-hgmap 37678  df-hlhil 37727 This theorem is referenced by:  hlhilsrng  37748
 Copyright terms: Public domain W3C validator