MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlid 25549
Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlid (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid
StepHypRef Expression
1 hlid.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2651 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
7 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 25427 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
98olcd 407 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
101, 1, 93jca 1261 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
11 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
122, 4, 11, 7, 7, 6, 5ishlg 25542 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐴 ↔ (𝐴𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
1310, 12mpbird 247 1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  hlGchlg 25540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-trkgc 25392  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-hlg 25541
This theorem is referenced by:  opphl  25691  iscgra1  25747  cgraid  25756  cgrcgra  25758  dfcgra2  25766  tgsas1  25780  tgsas2  25782  tgsas3  25783  tgasa1  25784  tgsss1  25786
  Copyright terms: Public domain W3C validator