MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlid 25250
Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlid (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid
StepHypRef Expression
1 hlid.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2609 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
7 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 25127 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
98olcd 406 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
101, 1, 93jca 1234 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
11 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
122, 4, 11, 7, 7, 6, 5ishlg 25243 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐴 ↔ (𝐴𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
1310, 12mpbird 245 1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  distcds 15726  TarskiGcstrkg 25074  Itvcitv 25080  hlGchlg 25241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-trkgc 25092  df-trkgcb 25094  df-trkg 25097  df-hlg 25242
This theorem is referenced by:  opphl  25392  iscgra1  25448  cgraid  25457  cgrcgra  25459  dfcgra2  25467  tgsas1  25481  tgsas2  25483  tgsas3  25484  tgasa1  25485  tgsss1  25487
  Copyright terms: Public domain W3C validator