HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimcaui 27981
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 eqid 2621 . . . . . . . 8 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 eqid 2621 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
41, 2, 3hhlm 27944 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
5 resss 5391 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
64, 5eqsstri 3620 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
7 dmss 5293 . . . . . 6 ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
91, 2hhxmet 27920 . . . . . 6 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
103lmcau 23051 . . . . . 6 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
128, 11sstri 3597 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
134dmeqi 5295 . . . . . 6 dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
14 dmres 5388 . . . . . 6 dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) = (( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
1513, 14eqtri 2643 . . . . 5 dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
16 inss1 3817 . . . . 5 (( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)
1715, 16eqsstri 3620 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)
1812, 17ssini 3820 . . 3 dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
191, 2hhcau 27943 . . 3 Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
2018, 19sseqtr4i 3623 . 2 dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21 relres 5395 . . . 4 Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
224releqi 5173 . . . 4 (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
2321, 22mpbir 221 . . 3 Rel ⇝𝑣
2423releldmi 5332 . 2 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
2520, 24sseldi 3586 1 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cin 3559  wss 3560  cop 4161   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  cres 5086  Rel wrel 5089  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  cn 10980  ∞Metcxmt 19671  MetOpencmopn 19676  𝑡clm 20970  Caucca 22991  IndMetcims 27334  chil 27664   + cva 27665   · csm 27666  normcno 27668  Cauchyccau 27671  𝑣 chli 27672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976  ax-hilex 27744  ax-hfvadd 27745  ax-hvcom 27746  ax-hvass 27747  ax-hv0cl 27748  ax-hvaddid 27749  ax-hfvmul 27750  ax-hvmulid 27751  ax-hvmulass 27752  ax-hvdistr1 27753  ax-hvdistr2 27754  ax-hvmul0 27755  ax-hfi 27824  ax-his1 27827  ax-his2 27828  ax-his3 27829  ax-his4 27830
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-icc 12140  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-lm 20973  df-haus 21059  df-cau 22994  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-gdiv 27238  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-vs 27342  df-nmcv 27343  df-ims 27344  df-hnorm 27713  df-hvsub 27716  df-hlim 27717  df-hcau 27718
This theorem is referenced by:  isch3  27986  chscllem2  28385
  Copyright terms: Public domain W3C validator