HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimcaui 28940
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 eqid 2818 . . . . . . . 8 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 eqid 2818 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
41, 2, 3hhlm 28903 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
5 resss 5871 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
64, 5eqsstri 3998 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
7 dmss 5764 . . . . . 6 ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
91, 2hhxmet 28879 . . . . . 6 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
103lmcau 23843 . . . . . 6 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
128, 11sstri 3973 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
134dmeqi 5766 . . . . . 6 dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14 dmres 5868 . . . . . 6 dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
1513, 14eqtri 2841 . . . . 5 dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
16 inss1 4202 . . . . 5 (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
1715, 16eqsstri 3998 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
1812, 17ssini 4205 . . 3 dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
191, 2hhcau 28902 . . 3 Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
2018, 19sseqtrri 4001 . 2 dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21 relres 5875 . . . 4 Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
224releqi 5645 . . . 4 (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
2321, 22mpbir 232 . . 3 Rel ⇝𝑣
2423releldmi 5811 . 2 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
2520, 24sseldi 3962 1 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  cop 4563   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  Rel wrel 5553  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cn 11626  ∞Metcxmet 20458  MetOpencmopn 20463  𝑡clm 21762  Cauccau 23783  IndMetcims 28295  chba 28623   + cva 28624   · csm 28625  normcno 28627  Cauchyccauold 28630  𝑣 chli 28631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-lm 21765  df-haus 21851  df-cau 23786  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-hnorm 28672  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677
This theorem is referenced by:  isch3  28945  chscllem2  29342
  Copyright terms: Public domain W3C validator