Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlln 25415
 Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlln.2 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlln (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem hlln
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 ishlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
10 ishlg.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12tgbtwncom 25296 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
14133mix1d 1234 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
154adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
1710adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
188adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
19 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
201, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19tgbtwncom 25296 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
21203mix2d 1235 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
22 hlln.2 . . . . 5 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
23 ishlg.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
241, 3, 23, 8, 10, 6, 4ishlg 25410 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
2522, 24mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
2625simp3d 1073 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
2714, 21, 26mpjaodan 826 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
28 hlln.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2925simp2d 1072 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
301, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8tgellng 25361 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))))
3127, 30mpbird 247 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  distcds 15878  TarskiGcstrkg 25242  Itvcitv 25248  LineGclng 25249  hlGchlg 25408 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-trkgc 25260  df-trkgb 25261  df-trkgcb 25262  df-trkg 25265  df-hlg 25409 This theorem is referenced by:  hlperpnel  25530  opphllem4  25555  opphl  25559  hlpasch  25561  colhp  25575  hphl  25576  trgcopy  25609  cgracgr  25623  cgraswap  25625  acopy  25637  acopyeu  25638  tgasa1  25652
 Copyright terms: Public domain W3C validator