Theorem hlmul0 27893

Description: Hilbert space scalar multiplication by zero. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlmul0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlmul0.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hlmul0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlmul0	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem hlmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 27875	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hlmul0.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlmul0.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hlmul0.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5	2, 3, 4	nv0 27620	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
6	1, 5	sylan 487	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569   ·_𝑠OLD cns 27570  0_veccn0v 27571  CHil_OLDchlo 27869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-cbn 27847  df-hlo 27870

This theorem is referenced by:  axhvmul0-zf  27977