MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlne1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlne1 26319
Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlne1 (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem hlne1
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ishlg 26316 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
101, 9mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
1110simp1d 1134 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  Itvcitv 26150  hlGchlg 26314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-hlg 26315
This theorem is referenced by:  hleqnid  26322  hltr  26324  opphllem4  26464  opphl  26468  cgrane1  26526  cgrane2  26527  cgrahl  26541  sacgr  26545  acopy  26547  acopyeu  26548  inaghl  26559
  Copyright terms: Public domain W3C validator