Theorem hlpos 36506

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 36503	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 17663	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Posetcpo 17553  Latclat 17658  HLchlt 36490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-xp 5564  df-dm 5568  df-iota 6317  df-fv 6366  df-ov 7162  df-lat 17659  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491

This theorem is referenced by:  hlhgt2  36529  hl0lt1N  36530  cvrval3  36553  cvrexchlem  36559  cvratlem  36561  cvrat  36562  atlelt  36578  2atlt  36579  athgt  36596  1cvratex  36613  ps-2  36618  llnnleat  36653  llncmp  36662  2llnmat  36664  lplnnle2at  36681  llncvrlpln  36698  lplncmp  36702  lvolnle3at  36722  lplncvrlvol  36756  lvolcmp  36757  pmaple  36901  2lnat  36924  2atm2atN  36925  lhp2lt  37141  lhp0lt  37143  dia2dimlem2  38205  dia2dimlem3  38206  dih1  38426