Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat3 35016
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 35006. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l = (le‘𝐾)
hlrelat3.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j = (join‘𝐾)
hlrelat3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 35004 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 444 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 simp3l 1109 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
8 simp1l1 1174 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1l2 1175 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 simp2 1082 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐴)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
131, 2, 11, 12, 4cvr1 35014 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
157, 14mpbid 222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
16 simp1l 1105 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
17 simp1r 1106 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
182, 3pltle 17008 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
1916, 17, 18sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
20 simp3r 1110 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝 𝑌)
21 hllat 34968 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
228, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
231, 4atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐵)
25 simp1l3 1176 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑌𝐵)
261, 2, 11latjle12 17109 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2819, 20, 27mpbi2and 976 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
2915, 28jca 553 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
30293exp 1283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))))
3130reximdvai 3044 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
326, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  ltcplt 16988  joincjn 16991  Latclat 17092  ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956
This theorem is referenced by:  cvrval3  35017  athgt  35060  llnle  35122  lplnle  35144  llncvrlpln2  35161  lplncvrlvol2  35219  lhprelat3N  35644
  Copyright terms: Public domain W3C validator