Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat5N 33504
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 33503 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 443 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 hllat 33467 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
91, 4atbase 33393 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
10 ovex 6551 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 𝑝) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐵 → (𝑋 𝑝) ∈ V)
122, 3pltval 16725 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1311, 12syl3an3 1352 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
14 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 = (join‘𝐾)
151, 2, 14latlej1 16825 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑝))
1615biantrurd 527 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1713, 16bitr4d 269 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
181, 2, 14latleeqj1 16828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
19183com23 1262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
201, 14latjcom 16824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) = (𝑝 𝑋))
2120eqeq1d 2607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
2219, 21bitr4d 269 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
2322notbid 306 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
24 nesym 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋)
2523, 24syl6bbr 276 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
2617, 25bitr4d 269 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
277, 8, 9, 26syl3an 1359 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
28273expa 1256 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
2928anbi1d 736 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3029rexbidva 3026 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
31303adant3 1073 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3231adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
336, 32mpbird 245 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  Vcvv 3168   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  lecple 15717  ltcplt 16706  joincjn 16709  Latclat 16810  Atomscatm 33367  HLchlt 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator