Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat5N 34506
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 34505 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 445 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 hllat 34469 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
91, 4atbase 34395 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
10 ovexd 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐵 → (𝑋 𝑝) ∈ V)
112, 3pltval 16941 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1210, 11syl3an3 1359 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
13 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 = (join‘𝐾)
141, 2, 13latlej1 17041 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑝))
1514biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1612, 15bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
171, 2, 13latleeqj1 17044 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
18173com23 1269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
191, 13latjcom 17040 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) = (𝑝 𝑋))
2019eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
2118, 20bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
2221notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
23 nesym 2847 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋)
2422, 23syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
2516, 24bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
267, 8, 9, 25syl3an 1366 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
27263expa 1263 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
2827anbi1d 740 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
2928rexbidva 3045 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
30293adant3 1079 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3130adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
326, 31mpbird 247 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  ltcplt 16922  joincjn 16925  Latclat 17026  Atomscatm 34369  HLchlt 34456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator