MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocn 22298
Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocn (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem hmeocn
StepHypRef Expression
1 ishmeo 22297 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
21simplbi 498 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  ccnv 5548  (class class class)co 7145   Cn ccn 21762  Homeochmeo 22291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-top 21432  df-topon 21449  df-cn 21765  df-hmeo 22293
This theorem is referenced by:  hmeocnv  22300  hmeof1o2  22301  hmeof1o  22302  hmeoopn  22304  hmeocld  22305  hmeocls  22306  hmeontr  22307  hmeoimaf1o  22308  hmeores  22309  hmeoco  22310  hmeoqtop  22313  hmphen  22323  haushmphlem  22325  cmphmph  22326  connhmph  22327  reghmph  22331  nrmhmph  22332  txhmeo  22341  xpstopnlem1  22347  tgpconncompeqg  22649  tgpconncomp  22650  qustgpopn  22657  mbfimaopnlem  24185  mndpluscn  31069  hmeocldb  33580
  Copyright terms: Public domain W3C validator