MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocn 21544
Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocn (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem hmeocn
StepHypRef Expression
1 ishmeo 21543 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
21simplbi 476 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  ccnv 5103  (class class class)co 6635   Cn ccn 21009  Homeochmeo 21537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-map 7844  df-top 20680  df-topon 20697  df-cn 21012  df-hmeo 21539
This theorem is referenced by:  hmeocnv  21546  hmeof1o2  21547  hmeof1o  21548  hmeoopn  21550  hmeocld  21551  hmeocls  21552  hmeontr  21553  hmeoimaf1o  21554  hmeores  21555  hmeoco  21556  hmeoqtop  21559  hmphen  21569  haushmphlem  21571  cmphmph  21572  connhmph  21573  reghmph  21577  nrmhmph  21578  txhmeo  21587  xpstopnlem1  21593  tgpconncompeqg  21896  tgpconncomp  21897  qustgpopn  21904  mbfimaopnlem  23403  mndpluscn  29946  hmeocldb  32304
  Copyright terms: Public domain W3C validator