MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocnv 21656
Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocnv (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Proof of Theorem hmeocnv
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 21655 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2 hmeocn 21654 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 eqid 2692 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2692 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 21141 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
6 frel 6131 . . . . 5 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Rel 𝐹)
72, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → Rel 𝐹)
8 dfrel2 5661 . . . 4 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
97, 8sylib 208 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 = 𝐹)
109, 2eqeltrd 2771 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 ishmeo 21653 . 2 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
121, 10, 11sylanbrc 701 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1564  wcel 2071   cuni 4512  ccnv 5185  Rel wrel 5191  wf 5965  (class class class)co 6733   Cn ccn 21119  Homeochmeo 21647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-fv 5977  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-map 7944  df-top 20790  df-topon 20807  df-cn 21122  df-hmeo 21649
This theorem is referenced by:  hmeocnvb  21668  hmphsym  21676  xpstopnlem2  21705
  Copyright terms: Public domain W3C validator