MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocnvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocnvcn 22299
Description: The converse of a homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocnvcn (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Proof of Theorem hmeocnvcn
StepHypRef Expression
1 ishmeo 22297 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
21simprbi 497 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  ccnv 5548  (class class class)co 7145   Cn ccn 21762  Homeochmeo 22291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-top 21432  df-topon 21449  df-cn 21765  df-hmeo 22293
This theorem is referenced by:  hmeocnv  22300  hmeof1o2  22301  hmeoima  22303  hmeocld  22305  hmeocls  22306  hmeontr  22307  hmeores  22309  hmeoco  22310  txhmeo  22341  tgpconncompeqg  22649  mndpluscn  31069  cvmliftlem8  32437  hmeoclda  33579
  Copyright terms: Public domain W3C validator