MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoqtop 22311
Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoqtop (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeocn 22296 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop2 21777 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4 toptopon2 21454 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
53, 4sylib 219 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
6 eqid 2818 . . . 4 𝐽 = 𝐽
7 eqid 2818 . . . 4 𝐾 = 𝐾
86, 7hmeof1o 22300 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾)
9 f1ofo 6615 . . 3 (𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾𝐹: 𝐽onto 𝐾)
10 forn 6586 . . 3 (𝐹: 𝐽onto 𝐾 → ran 𝐹 = 𝐾)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = 𝐾)
12 hmeoima 22301 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
135, 1, 11, 12qtopomap 22254 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   cuni 4830  ran crn 5549  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145   qTop cqtop 16764  Topctop 21429  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760  Homeochmeo 22289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-qtop 16768  df-top 21430  df-topon 21447  df-cn 21763  df-hmeo 22291
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  22347
  Copyright terms: Public domain W3C validator