HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 28196
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇C

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 27987 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 28104 . 2 ran 𝑇S
5 eqid 2605 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
65hilxmet 27238 . . . . . . 7 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2605 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87methaus 22072 . . . . . . 7 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
10 eqid 2605 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1110, 5hhims 27215 . . . . . . . . . . . 12 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1210, 11, 7hhlm 27242 . . . . . . . . . . 11 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
13 resss 5325 . . . . . . . . . . 11 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1412, 13eqsstri 3593 . . . . . . . . . 10 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1514ssbri 4617 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1615adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
177mopntopon 21991 . . . . . . . . . 10 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
193lnopfi 28014 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120feqmptd 6140 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)))
22 hmopbdoptHIL 28033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 28081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ConOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ConOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 219 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ConOp
275, 7hhcno 27949 . . . . . . . . . . 11 ConOp = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2826, 27eleqtri 2681 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2921, 28syl6eqelr 2692 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3018cnmptid 21212 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3110hhnv 27208 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3210hhvs 27213 . . . . . . . . . . 11 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3311, 7, 32vmcn 26735 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 21217 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3616, 35lmcn 20857 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥))
37 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ran 𝑇)
384shssii 27256 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 ⊆ ℋ
39 fss 5951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4140ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
42 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑓𝑘)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → 𝑦 = (𝑓𝑘))
4442, 43oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
45 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))
46 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
49 ffn 5940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn ℋ
51 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → 𝑦 = (𝑇𝑥))
5351, 52eqeq12d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑇𝑥) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5453ralrn 6251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
56 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑇) = 𝑇
5756fveq1i 6085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥)
5819, 19hocoi 27809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
5957, 58syl5reqr 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
6055, 59mprgbir 2906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦
61 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6463rspccv 3274 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 → ((𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6560, 62, 64mpsyl 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘))
6665, 41eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ)
67 hvsubeq0 27111 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6866, 41, 67syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6965, 68mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0)
7048, 69eqtrd 2639 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = 0)
71 fvco3 6166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
7271adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
73 ax-hv0cl 27046 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℋ
7473elexi 3181 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7574fvconst2 6348 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7675adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7770, 72, 763eqtr4d 2649 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
7877ralrimiva 2944 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
79 ovex 6551 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑦) − 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 5917 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ
81 fnfco 5963 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8280, 40, 81sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8374fconst 5985 . . . . . . . . . 10 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
84 ffn 5940 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}) Fn ℕ
86 eqfnfv 6200 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8782, 85, 86sylancl 692 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8878, 87mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
89 vex 3171 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9089hlimveci 27233 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
9190adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
92 fveq2 6084 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝑥))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
9492, 93oveq12d 6541 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
95 ovex 6551 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) − 𝑥) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6172 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9836, 88, 973brtr3d 4604 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑇𝑥) − 𝑥))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℋ)
100 1zzd 11237 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
101 nnuz 11551 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
102101lmconst 20813 . . . . . . 7 (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
1049, 98, 103lmmo 20932 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0)
10519ffvelrni 6247 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
107 hvsubeq0 27111 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
108106, 91, 107syl2anc 690 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
109104, 108mpbid 220 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 𝑥)
110 fnfvelrn 6245 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 693 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2684 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1712 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
114 isch2 27266 . 2 (ran 𝑇C ↔ (ran 𝑇S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 956 1 ran 𝑇C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wss 3535  {csn 4120  cop 4126   class class class wbr 4573  cmpt 4633   × cxp 5022  ran crn 5025  cres 5026  ccom 5028   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑚 cmap 7717  1c1 9789  cn 10863  cz 11206  ∞Metcxmt 19494  MetOpencmopn 19499  TopOnctopon 20456   Cn ccn 20776  𝑡clm 20778  Hauscha 20860   ×t ctx 21111  NrmCVeccnv 26603  chil 26962   + cva 26963   · csm 26964  normcno 26966  0c0v 26967   cmv 26968  𝑣 chli 26970   S csh 26971   C cch 26972  ConOpccop 26989  LinOpclo 26990  BndLinOpcbo 26991  HrmOpcho 26993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-dc 9124  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvmulass 27050  ax-hvdistr1 27051  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128  ax-hcompl 27245
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-lm 20781  df-t1 20866  df-haus 20867  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-fcls 21493  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-cfil 22775  df-cau 22776  df-cmet 22777  df-grpo 26493  df-gid 26494  df-ginv 26495  df-gdiv 26496  df-ablo 26548  df-vc 26563  df-nv 26611  df-va 26614  df-ba 26615  df-sm 26616  df-0v 26617  df-vs 26618  df-nmcv 26619  df-ims 26620  df-dip 26737  df-ssp 26761  df-lno 26785  df-nmoo 26786  df-blo 26787  df-0o 26788  df-ph 26854  df-cbn 26905  df-hlo 26928  df-hnorm 27011  df-hba 27012  df-hvsub 27014  df-hlim 27015  df-hcau 27016  df-sh 27250  df-ch 27264  df-oc 27295  df-ch0 27296  df-shs 27353  df-pjh 27440  df-h0op 27793  df-nmop 27884  df-cnop 27885  df-lnop 27886  df-bdop 27887  df-unop 27888  df-hmop 27889
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  28197  hmopidmch  28198
  Copyright terms: Public domain W3C validator