Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmph0 21579
 Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0 (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 21569 . . . 4 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2 df1o2 7557 . . . 4 1𝑜 = {∅}
31, 2syl6breqr 4686 . . 3 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1𝑜)
4 hmphtop1 21563 . . . 4 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5 en1top 20769 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
73, 6mpbid 222 . 2 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9 sn0top 20784 . . . 4 {∅} ∈ Top
10 hmphref 21565 . . . 4 ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
119, 10ax-mp 5 . . 3 {∅} ≃ {∅}
128, 11syl6eqbr 4683 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
137, 12impbii 199 1 (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∅c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644  1𝑜c1o 7538   ≈ cen 7937  Topctop 20679   ≃ chmph 21538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-1o 7545  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-top 20680  df-topon 20697  df-cn 21012  df-hmeo 21539  df-hmph 21540 This theorem is referenced by:  hmphindis  21581
 Copyright terms: Public domain W3C validator