HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoaddcl 28587
Description: The sum of Hilbert space operators is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoaddcl ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hoaddcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6343 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
21adantlr 750 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
3 ffvelrn 6343 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
43adantll 749 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 27839 . . . 4 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
62, 4, 5syl2anc 692 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
7 eqid 2620 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
86, 7fmptd 6371 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
9 hosmval 28564 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
109feq1d 6017 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
118, 10mpbird 247 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1988  cmpt 4720  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  chil 27746   + cva 27747   +op chos 27765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-map 7844  df-hosum 28559
This theorem is referenced by:  hoaddcli  28597  hoadd4  28613  hoadddi  28632  hoadddir  28633  hosub4  28642  hoaddsubass  28644  ho2times  28648  hmops  28849  adjadd  28922  opsqrlem6  28974
  Copyright terms: Public domain W3C validator