HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoaddcl 27789
Description: The sum of Hilbert space operators is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoaddcl ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hoaddcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6149 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
21adantlr 746 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
3 ffvelrn 6149 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
43adantll 745 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 27041 . . . 4 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
62, 4, 5syl2anc 690 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
7 eqid 2514 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
86, 7fmptd 6176 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
9 hosmval 27766 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
109feq1d 5828 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
118, 10mpbird 245 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  cmpt 4541  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  chil 26948   + cva 26949   +op chos 26967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-hilex 27028  ax-hfvadd 27029
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-map 7622  df-hosum 27761
This theorem is referenced by:  hoaddcli  27799  hoadd4  27815  hoadddi  27834  hoadddir  27835  hosub4  27844  hoaddsubass  27846  ho2times  27850  hmops  28051  adjadd  28124  opsqrlem6  28176
  Copyright terms: Public domain W3C validator