HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoadddir 28993
Description: Scalar product reverse distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddir ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem hoadddir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 10230 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
21anim1i 593 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
323impa 1101 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
4 homval 28930 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)))
543expa 1112 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)))
63, 5sylan 489 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)))
7 homval 28930 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
873expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
983adantl2 1173 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
10 homval 28930 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐵 · (𝑇𝑥)))
11103expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐵 · (𝑇𝑥)))
12113adantl1 1172 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐵 · (𝑇𝑥)))
139, 12oveq12d 6832 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐵 · (𝑇𝑥))))
14 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
15 ax-hvdistr2 28196 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐵 · (𝑇𝑥))))
1614, 15syl3an3 1170 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐵 · (𝑇𝑥))))
17163exp 1113 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐵 · (𝑇𝑥))))))
1817exp4a 634 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐵 · (𝑇𝑥)))))))
19183imp1 1441 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐵 · (𝑇𝑥))))
2013, 19eqtr4d 2797 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝑇𝑥)))
216, 20eqtr4d 2797 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
22 homulcl 28948 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
23 homulcl 28948 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
2422, 23anim12i 591 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ))
25243impdir 1445 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ))
26 hosval 28929 . . . . . 6 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
27263expa 1112 . . . . 5 ((((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
2825, 27sylan 489 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
2921, 28eqtr4d 2797 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥))
3029ralrimiva 3104 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥))
31 homulcl 28948 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
321, 31stoic3 1850 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
33 hoaddcl 28947 . . . . 5 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
3422, 23, 33syl2an 495 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
35343impdir 1445 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
36 hoeq 28949 . . 3 ((((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))))
3732, 35, 36syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇))))
3830, 37mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·op 𝑇) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐵 ·op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146   + caddc 10151  chil 28106   + cva 28107   · csm 28108   +op chos 28125   ·op chot 28126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-addcl 10208  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hfvmul 28192  ax-hvdistr2 28196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-hosum 28919  df-homul 28920
This theorem is referenced by:  ho2times  29008
  Copyright terms: Public domain W3C validator