HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hocsubdiri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hocsubdiri 28767
Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hods.1 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hocsubdiri ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))

Proof of Theorem hocsubdiri
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hods.1 . . . . . 6 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2 hods.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
31, 2hosubcli 28756 . . . . 5 (𝑅op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4 hods.3 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
53, 4hocoi 28751 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)))
61, 4hocofi 28753 . . . . . 6 (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ
72, 4hocofi 28753 . . . . . 6 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
8 hodval 28729 . . . . . 6 (((𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
96, 7, 8mp3an12 1454 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
104ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
11 hodval 28729 . . . . . . . 8 ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
121, 2, 11mp3an12 1454 . . . . . . 7 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
141, 4hocoi 28751 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇𝑥)))
152, 4hocoi 28751 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
1614, 15oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
1713, 16eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
189, 17eqtr4d 2688 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)))
195, 18eqtr4d 2688 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥))
2019rgen 2951 . 2 𝑥 ∈ ℋ (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥)
213, 4hocofi 28753 . . 3 ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
226, 7hosubcli 28756 . . 3 ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 28748 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇)))
2420, 23mpbi 220 1 ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  chil 27904   cmv 27910  op chod 27925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hfvmul 27990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-hvsub 27956  df-hodif 28719
This theorem is referenced by:  hocsubdir  28772  unierri  29091  pjclem3  29184
  Copyright terms: Public domain W3C validator