HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hodsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hodsi 29479
Description: Relationship between Hilbert space operator difference and sum. (Contributed by NM, 17-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hods.1 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hodsi ((𝑅op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem hodsi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hods.1 . . . . . 6 𝑅: ℋ⟶ ℋ
21ffvelrni 6842 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅𝑥) ∈ ℋ)
3 hods.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
43ffvelrni 6842 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
5 hods.3 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
65ffvelrni 6842 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubadd 28781 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = (𝑅𝑥)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1363 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = (𝑅𝑥)))
9 hodval 29446 . . . . . 6 ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)))
101, 3, 9mp3an12 1442 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = ((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)))
1110eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑅𝑥) − (𝑆𝑥)) = (𝑇𝑥)))
12 hosval 29444 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
133, 5, 12mp3an12 1442 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
1413eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥) ↔ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = (𝑅𝑥)))
158, 11, 143bitr4d 312 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥)))
1615ralbiia 3161 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥))
171, 3hosubcli 29473 . . 3 (𝑅op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
1817, 5hoeqi 29465 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅op 𝑆)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ (𝑅op 𝑆) = 𝑇)
193, 5hoaddcli 29472 . . 3 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
2019, 1hoeqi 29465 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = (𝑅𝑥) ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)
2116, 18, 203bitr3i 302 1 ((𝑅op 𝑆) = 𝑇 ↔ (𝑆 +op 𝑇) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  chba 28623   + cva 28624   cmv 28629   +op chos 28642  op chod 28644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-hvsub 28675  df-hosum 29434  df-hodif 29436
This theorem is referenced by:  hodidi  29491  hodseqi  29498  ho0subi  29499  hosd1i  29526  pjoci  29884
  Copyright terms: Public domain W3C validator