HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hodval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hodval 28447
Description: Value of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hodval ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))

Proof of Theorem hodval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodmval 28442 . . . 4 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
21fveq1d 6150 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))‘𝐴))
3 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
4 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐴))
53, 4oveq12d 6622 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
6 eqid 2621 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
7 ovex 6632 . . . 4 ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6239 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
92, 8sylan9eq 2675 . 2 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
1093impa 1256 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  chil 27622   cmv 27628  op chod 27643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-hilex 27702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-hodif 28437
This theorem is referenced by:  hodcl  28452  hodsi  28480  hocsubdiri  28485  honegsubi  28501  hoddii  28694  lnopeqi  28713  leop2  28829  pjddii  28861  pjssposi  28877  pjssdif2i  28879
  Copyright terms: Public domain W3C validator