Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval0 39277
Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval0.p 𝑗𝜑
hoidmvval0.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvval0.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j (𝜑 → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
Assertion
Ref Expression
hoidmvval0 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
2 hoidmvval0.j . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
3 fveq2 6084 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
4 fveq2 6084 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
53, 4breq12d 4586 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)))
65cbvrexv 3143 . . . 4 (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
7 rexn0 4021 . . . 4 (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
86, 7sylbir 223 . . 3 (∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
92, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
10 hoidmvval0.l . . . 4 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
11 hoidmvval0.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14 hoidmvval0.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1514adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16 hoidmvval0.b . . . . 5 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1716adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
1810, 12, 13, 15, 17hoidmvn0val 39274 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
192adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
20 hoidmvval0.p . . . . . 6 𝑗𝜑
21 nfv 1828 . . . . . 6 𝑗 𝑋 ≠ ∅
2220, 21nfan 1814 . . . . 5 𝑗(𝜑𝑋 ≠ ∅)
23 nfv 1828 . . . . 5 𝑗𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0
24 nfv 1828 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
25 nfcv 2746 . . . . . . . 8 𝑘(vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
26113ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
2714ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2816ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
29 volicore 39271 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
3027, 28, 29syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
3130recnd 9920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
32313ad2antl1 1215 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
334, 3oveq12d 6541 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
3433fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
35 simp2 1054 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
3614ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
37363adant3 1073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
3816ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
39383adant3 1073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
40 volico 38676 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
4137, 39, 40syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
42 simp3 1055 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
4339, 37lenltd 10030 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
4442, 43mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
4544iffalsed 4042 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
4641, 45eqtrd 2639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
4724, 25, 26, 32, 34, 35, 46fprod0 38463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
48473adant1r 1310 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
49483exp 1255 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑗𝑋 → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
5022, 23, 49rexlimd 3003 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0))
5119, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
52 eqidd 2606 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
5318, 51, 523eqtrd 2643 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
541, 9, 53syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  c0 3869  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cmpt 4633  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113  [,)cico 12000  cprod 14416  volcvol 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-prod 14417  df-rest 15848  df-topgen 15869  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-cmp 20938  df-ovol 22953  df-vol 22954
This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  39280  hoidmvlelem5  39289
  Copyright terms: Public domain W3C validator