Theorem hoiprodcl 42836

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10690	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 10697	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8	7	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
10	8, 9	fvovco 41462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))))
11	10	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))))
12	7	ffvelrnda 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13		xp1st 7723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		xp2nd 7724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		volico 42275	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
18	14, 16, 17	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
19	11, 18	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
20	16, 14	resubcld 11070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ ℝ)
21		0red 10646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	ifcld 4514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
24	5, 6, 23	fprodreclf 15315	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 10693	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
26	16	rexrd 10693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*)
27		icombl 24167	. . . . . 6 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
28	14, 26, 27	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
29	10, 28	eqeltrd 2915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30		volge0 42253	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
32	5, 6, 23, 31	fprodge0 15349	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
33	24	ltpnfd 12519	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
34	2, 4, 25, 32, 33	elicod 12790	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ifcif 4469   class class class wbr 5068   × cxp 5555  dom cdm 5557   ∘ ccom 5561  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1^st c1st 7689  2^nd c2nd 7690  Fincfn 8511  ℝcr 10538  0cc0 10539  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  [,)cico 12743  ∏cprod 15261  volcvol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-prod 15262  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-ovol 24067  df-vol 24068

This theorem is referenced by:  ovnprodcl  42843  hoiprodcl2  42844  ovnhoilem1  42890