Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl 40524
Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl.1 𝑘𝜑
hoiprodcl.2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl
StepHypRef Expression
1 0xr 10071 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10077 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl.1 . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
108, 9fvovco 39197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
1110fveq2d 6182 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))))
127ffvelrnda 6345 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13 xp1st 7183 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
15 xp2nd 7184 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
17 volico 39963 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1814, 16, 17syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1911, 18eqtrd 2654 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
2016, 14resubcld 10443 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))) ∈ ℝ)
21 0red 10026 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21ifcld 4122 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2699 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
245, 6, 23fprodreclf 14670 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10074 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
2616rexrd 10074 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
27 icombl 23313 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2814, 26, 27syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2910, 28eqeltrd 2699 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30 volge0 39940 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
325, 6, 23, 31fprodge0 14705 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3324ltpnfd 11940 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
342, 4, 25, 32, 33elicod 12209 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wnf 1706  wcel 1988  ifcif 4077   class class class wbr 4644   × cxp 5102  dom cdm 5104  ccom 5108  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  1st c1st 7151  2nd c2nd 7152  Fincfn 7940  cr 9920  0cc0 9921  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  [,)cico 12162  cprod 14616  volcvol 23213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-prod 14617  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cmp 21171  df-ovol 23214  df-vol 23215
This theorem is referenced by:  ovnprodcl  40531  hoiprodcl2  40532  ovnhoilem1  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator