Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 40602
Description: A n-dimensional ball contains a non-empty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
hoiqssbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 4781 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21snid 4199 . . . . . 6 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
6 oveq2 6643 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 ∅))
7 reex 10012 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 7857 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
116, 10eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = {∅})
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = {∅})
135, 12eleqtrd 2701 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ {∅})
14 0fin 8173 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
15 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘(ℝ^‘∅)) = (dist‘(ℝ^‘∅))
1615rrxmetfi 40270 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅))
18 metxmet 22120 . . . . . . . . . . . 12 ((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅)) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅)))
213, 9syl6eleqr 2710 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑𝑚 ∅))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 22199 . . . . . . . . . 10 (((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 ∅)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑𝑚 ∅) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
26 elsni 4185 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 = ∅)
2827eqcomd 2626 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ = 𝑌)
2928oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3130snssd 4331 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3213, 31jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
33 biidd 252 . . . . . . 7 (𝑑 = ∅ → ((𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3433rspcev 3304 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
36 biidd 252 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3736rspcev 3304 . . . . 5 ((∅ ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
39 oveq2 6643 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑𝑚 𝑋) = (ℚ ↑𝑚 ∅))
40 qex 11785 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
41 mapdm0 7857 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑𝑚 ∅) = {∅})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ↑𝑚 ∅) = {∅}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑𝑚 ∅) = {∅})
4439, 43eqtr2d 2655 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑𝑚 𝑋))
4544eqcomd 2626 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑𝑚 𝑋) = {∅})
4645eleq2d 2685 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
4745eleq2d 2685 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {∅}))
4847anbi1d 740 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → ((𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3044 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3044 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5251adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5338, 52mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
54 ixpeq1 7904 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
55 ixp0x 7921 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5754, 56eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5857eleq2d 2685 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ↔ 𝑌 ∈ {∅}))
59 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ∅ → (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘∅))
6059fveq2d 6182 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘∅)))
6160fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (ball‘(dist‘(ℝ^‘∅))))
6261oveqd 6652 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
6357, 62sseq12d 3626 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
6458, 63anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6564rexbidv 3048 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6665rexbidv 3048 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6766adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6853, 67mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
69 hoiqssbl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7069adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
71 neqne 2799 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
7271adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
734adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
7422adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7570, 72, 73, 74hoiqssbllem3 40601 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
7668, 75pm2.61dan 831 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907  {csn 4168  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842  Xcixp 7893  Fincfn 7940  cr 9920  cq 11773  +crp 11817  [,)cico 12162  distcds 15931  ∞Metcxmt 19712  Metcme 19713  ballcbl 19714  ℝ^crrx 23152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-field 18731  df-subrg 18759  df-staf 18826  df-srng 18827  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-cnfld 19728  df-refld 19932  df-dsmm 20057  df-frlm 20072  df-nm 22368  df-tng 22370  df-tch 22950  df-rrx 23154
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  40610
  Copyright terms: Public domain W3C validator