Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 41157
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
hoiqssbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem1.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
21elexd 3245 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
3 elmapfn 7922 . . . 4 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 𝑖𝜑
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
76ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
87rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
109ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
1110rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
12 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
1514rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2319, 22mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
2423nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℝ)
2523nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (#‘𝑋))
2624, 25elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(#‘𝑋)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 10496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 iooltub 40053 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
377, 14, 36ltled 10223 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
3814, 31readdcld 10107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 10127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
41 ioogtlb 40035 . . . . . . 7 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
438, 11, 15, 37, 42elicod 12262 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑋 → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
455, 44ralrimi 2986 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
462, 4, 453jca 1261 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
47 elixp2 7954 . 2 (𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
4846, 47sylibr 224 1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  c0 3948   class class class wbr 4685   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  cr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  #chash 13157  csqrt 14017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  41159
  Copyright terms: Public domain W3C validator