Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem2 41158
 Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem2.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem2.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
hoiqssbllem2.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem2.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem2.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem2.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
3 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋)
42, 3rrxdsfi 40823 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
7 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
87adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
9 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (𝑖) = (𝑓𝑖))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑖) = (𝑓𝑖))
118, 10oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → ((𝑔𝑖) − (𝑖)) = ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)))
1211oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1312sumeq2ad 14478 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1413fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ (𝑔 = 𝑌 = 𝑓)) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
16 hoiqssbllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
18 hoiqssbllem2.i . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
19 hoiqssbllem2.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
21 hoiqssbllem2.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
2322rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
2418, 20, 23hoissrrn2 41113 . . . . . . . . 9 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
26 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
2725, 26sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
28 fvexd 6241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ V)
296, 15, 17, 27, 28ovmpt2d 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
30 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑓
31 nfixp1 7970 . . . . . . . . . 10 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3230, 31nfel 2806 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3318, 32nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
34 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝜑)
3534, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
36 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
3716, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
3837ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3934, 38sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
40 icossre 12292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4120, 23, 40syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4241adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
43 fvixp2 39703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4542, 44sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
4639, 45resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
47 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
4946, 48reexpcld 13065 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5033, 35, 49fsumreclf 40126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
52 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝑗))
5351, 52oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5453cbvixpv 7968 . . . . . . . . . . 11 X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))
5554eleq2i 2722 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5655biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
581adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
59 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
6055biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
6160ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
62 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6359, 61, 62, 49syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6446sqge0d 13076 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6559, 61, 62, 64syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6658, 63, 65fsumge0 14571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6734, 57, 66syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6850, 67resqrtcld 14200 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
6929, 68eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) ∈ ℝ)
7022, 20resubcld 10496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
7170resqcld 13075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
721, 71fsumrecl 14509 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
7370sqge0d 13076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
741, 71, 73fsumge0 14571 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
7572, 74resqrtcld 14200 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
77 hoiqssbllem2.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7877rpred 11910 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ)
80 hoiqssbllem2.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
8271adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
8334, 22sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
8434, 20sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
8583, 84resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8620rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
8738rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
88 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
90 hashnncl 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 ∈ Fin → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
911, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9280, 91mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
9392nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℝ)
9492nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 < (#‘𝑋))
9593, 94elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℝ+)
9695rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (√‘(#‘𝑋)) ∈ ℝ+)
9789, 96rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℝ+)
9877, 97rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
9998rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10138, 100resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)
102101rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
103 hoiqssbllem2.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
104 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
105102, 87, 103, 104syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
10620, 38, 105ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
10738, 100readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)
108107rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
109 hoiqssbllem2.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
110 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11187, 108, 109, 110syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11286, 23, 87, 106, 111elicod 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
11334, 112sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
114 icodiamlt 14218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
11584, 83, 113, 44, 114syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
116 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ∈ ℝ)
11720, 38, 22, 106, 111lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝐷𝑖))
11820, 22posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖) < (𝐷𝑖) ↔ 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
119117, 118mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
120116, 70, 119ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
12170, 120absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
122121eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
123122adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
124115, 123breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
12546, 85, 124abslt2sqd 39889 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12659, 61, 62, 125syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12758, 81, 63, 82, 126fsumlt 14576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12834, 57, 127syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12934, 72syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
13034, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
13150, 67, 129, 130sqrtltd 14210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))))
132128, 131mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13329, 132eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13478, 96rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℝ)
135134resqcld 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
136135adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
13722, 20jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
138107, 101jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ))
139137, 138jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)))
140 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
14187, 108, 109, 140syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
142 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
143102, 87, 103, 142syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
144141, 143jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)))
145 lt2sub 10564 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)) → (((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
146139, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
14738recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
148100recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℂ)
149147, 148, 148pnncand 10469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))) = ((𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
15078recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15196rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(#‘𝑋)) ∈ ℂ)
152 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15396rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(#‘𝑋)) ≠ 0)
15489rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
155150, 151, 152, 153, 154divdiv3d 39888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) / 2) = (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))
156155eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) = ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) / 2))
157156, 156oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) = (((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) / 2)))
158150, 151, 153divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℂ)
1591582halvesd 11316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) / 2)) = (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
160157, 159eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
162149, 161eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))) = (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
163146, 162breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
164134adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℝ)
165 0red 10079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16696rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(#‘𝑋)) ∈ ℝ)
16777rpgt0d 11913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
16896rpgt0d 11913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (√‘(#‘𝑋)))
16978, 166, 167, 168divgt0d 10997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
170165, 134, 169ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
171170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))
172 lt2sq 12977 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) ∧ ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))))) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)))
17370, 120, 164, 171, 172syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(#‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)))
174163, 173mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2))
1751, 80, 71, 136, 174fsumlt 14576 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2))
1761, 136fsumrecl 14509 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
177164sqge0d 13076 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2))
1781, 136, 177fsumge0 14571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2))
17972, 74, 176, 178sqrtltd 14210 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2))))
180175, 179mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)))
181135recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ)
182 fsumconst 14566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) = ((#‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)))
1831, 181, 182syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) = ((#‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)))
184 sqdiv 12968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (√‘(#‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(#‘𝑋)) ≠ 0) → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(#‘𝑋))↑2)))
185150, 151, 153, 184syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(#‘𝑋))↑2)))
18693recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
187 sqrtth 14148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑋) ∈ ℂ → ((√‘(#‘𝑋))↑2) = (#‘𝑋))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(#‘𝑋))↑2) = (#‘𝑋))
189188oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) / ((√‘(#‘𝑋))↑2)) = ((𝐸↑2) / (#‘𝑋)))
190185, 189eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / (#‘𝑋)))
191190oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)) = ((#‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (#‘𝑋))))
192150sqcld 13046 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
193165, 94gtned 10210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑋) ≠ 0)
194192, 186, 193divcan2d 10841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (#‘𝑋))) = (𝐸↑2))
195183, 191, 1943eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2) = (𝐸↑2))
196195fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)) = (√‘(𝐸↑2)))
197165, 78, 167ltled 10223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
198 sqrtsq 14054 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
19978, 197, 198syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
200 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = 𝐸)
201196, 199, 2003eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(#‘𝑋)))↑2)) = 𝐸)
202180, 201breqtrd 4711 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
203202adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
20469, 76, 79, 133, 203lttrd 10236 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸)
205 eqid 2651 . . . . . . . 8 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
206205rrxmetfi 40825 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
207 metxmet 22186 . . . . . . 7 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
2081, 206, 2073syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
209208adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
21079rexrd 10127 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ*)
21127, 3syl6eleq 2740 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
212 elbl2 22242 . . . . 5 ((((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
213209, 210, 17, 211, 212syl22anc 1367 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
214204, 213mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
215214ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
216 dfss3 3625 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
217215, 216sylibr 224 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692   ↑𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ↑cexp 12900  #chash 13157  √csqrt 14017  abscabs 14018  Σcsu 14460  distcds 15997  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  ℝ^crrx 23217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-nm 22434  df-tng 22436  df-tch 23015  df-rrx 23219 This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  41159
 Copyright terms: Public domain W3C validator