Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn2 41290
 Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoissrrn2.kph 𝑘𝜑
hoissrrn2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
hoissrrn2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2
StepHypRef Expression
1 ovex 6833 . . . . 5 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
21rgenw 3054 . . . 4 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3 ixpssmapg 8096 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋))
6 reex 10211 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn2.kph . . . . 5 𝑘𝜑
9 hoissrrn2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 hoissrrn2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 icossre 12439 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
129, 10, 11syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1312ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
148, 13ralrimi 3087 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 iunss 4705 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 224 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17 mapss 8058 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
187, 16, 17syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
195, 18sstrd 3746 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  Ⅎwnf 1849   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707  ∪ ciun 4664  (class class class)co 6805   ↑𝑚 cmap 8015  Xcixp 8066  ℝcr 10119  ℝ*cxr 10257  [,)cico 12362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-ico 12366 This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  41313  ovnhoilem2  41314  ovnhoi  41315  hoiqssbllem2  41335
 Copyright terms: Public domain W3C validator