Theorem hoissrrn2 42867

Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoissrrn2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoissrrn2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
hoissrrn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7191	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ∈ V
2	1	rgenw 3152	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3		ixpssmapg 8494	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
6		reex 10630	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		hoissrrn2.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		hoissrrn2.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		hoissrrn2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		icossre 12820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
13	12	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
14	8, 13	ralrimi 3218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15		iunss 4971	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16	14, 15	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17		mapss 8455	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
18	7, 16, 17	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
19	5, 18	sstrd 3979	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∪ ciun 4921  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Xcixp 8463  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676  [,)cico 12743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ico 12747

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  42890  ovnhoilem2  42891  ovnhoi  42892  hoiqssbllem2  42912