HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homulcl 28467
Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem homulcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6313 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
2 hvmulcl 27719 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
31, 2sylan2 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
43anassrs 679 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
5 eqid 2621 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))
64, 5fmptd 6340 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
7 hommval 28444 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))))
87feq1d 5987 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
96, 8mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  chil 27625   · csm 27627   ·op chot 27645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-hilex 27705  ax-hfvmul 27711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-homul 28439
This theorem is referenced by:  honegsubi  28504  homulid2  28508  homco1  28509  homulass  28510  hoadddi  28511  hoadddir  28512  hosubneg  28515  hosubdi  28516  honegsubdi  28518  honegsubdi2  28519  hosub4  28521  hosubsub4  28526  hosubeq0i  28534  nmopnegi  28673  homco2  28685  lnopmi  28708  hmopm  28729  nmophmi  28739  adjmul  28800  opsqrlem1  28848  opsqrlem6  28853
  Copyright terms: Public domain W3C validator