Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homulid2 28787
 Description: An operator equals its scalar product with one. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulid2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Proof of Theorem homulid2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10032 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 homval 28728 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 · (𝑇𝑥)))
31, 2mp3an1 1451 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 · (𝑇𝑥)))
4 ffvelrn 6397 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 ax-hvmulid 27991 . . . . 5 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (1 · (𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
73, 6eqtrd 2685 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
87ralrimiva 2995 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
9 homulcl 28746 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
101, 9mpan 706 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11 hoeq 28747 . . 3 (((1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
1210, 11mpancom 704 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
138, 12mpbid 222 1 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975   ℋchil 27904   ·ℎ csm 27906   ·op chot 27924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032  ax-hilex 27984  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-homul 28718 This theorem is referenced by:  honegneg  28793  ho2times  28806  leopmul  29121  nmopleid  29126  opsqrlem1  29127  opsqrlem6  29132
 Copyright terms: Public domain W3C validator