HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  honegsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem honegsubi 28783
Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction. (Contributed by NM, 24-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hodseq.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hodseq.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
honegsubi (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)

Proof of Theorem honegsubi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodseq.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 neg1cn 11162 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
3 hodseq.3 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 homulcl 28746 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
52, 3, 4mp2an 708 . . . . . 6 (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 hosval 28727 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
71, 5, 6mp3an12 1454 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
81ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
93ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10 hvsubval 28001 . . . . . . 7 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
118, 9, 10syl2anc 694 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
12 homval 28728 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 · (𝑇𝑥)))
132, 3, 12mp3an12 1454 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (-1 · (𝑇𝑥)))
1413oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆𝑥) + (-1 · (𝑇𝑥))))
1511, 14eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝑥) + ((-1 ·op 𝑇)‘𝑥)))
167, 15eqtr4d 2688 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
17 hodval 28729 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
181, 3, 17mp3an12 1454 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
1916, 18eqtr4d 2688 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥))
2019rgen 2951 . 2 𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥)
211, 5hoaddcli 28755 . . 3 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
221, 3hosubcli 28756 . . 3 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 28748 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 +op (-1 ·op 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) ↔ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇))
2420, 23mpbi 220 1 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975  -cneg 10305  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   cmv 27910   +op chos 27923   ·op chot 27924  op chod 27925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hfvmul 27990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-hvsub 27956  df-hosum 28717  df-homul 28718  df-hodif 28719
This theorem is referenced by:  honegsub  28786  hosubeq0i  28813  lnophdi  28989  bdophdi  29084  nmoptri2i  29086
  Copyright terms: Public domain W3C validator