HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosubcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosubcli 28937
Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hosubcli (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hosubcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoeq.1 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 hoeq.2 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 hodmval 28905 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
41, 2, 3mp2an 710 . 2 (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
51ffvelrni 6521 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
62ffvelrni 6521 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubcl 28183 . . 3 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
85, 6, 7syl2anc 696 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
94, 8fmpti 6546 1 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  chil 28085   cmv 28091  op chod 28106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hfvmul 28171
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-hvsub 28137  df-hodif 28900
This theorem is referenced by:  hosubfni  28939  hosubcl  28941  hodsi  28943  hocsubdiri  28948  hodseqi  28962  ho0subi  28963  honegsubi  28964  hoaddsubi  28989  hosd1i  28990  honpncani  28995  hoddii  29157  unierri  29272  pjddii  29324
  Copyright terms: Public domain W3C validator