HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosubcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosubcli 29473
Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hosubcli (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hosubcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoeq.1 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 hoeq.2 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 hodmval 29441 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
41, 2, 3mp2an 688 . 2 (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
51ffvelrni 6842 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
62ffvelrni 6842 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubcl 28721 . . 3 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
85, 6, 7syl2anc 584 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
94, 8fmpti 6868 1 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  chba 28623   cmv 28629  op chod 28644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hfvmul 28709
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-hvsub 28675  df-hodif 29436
This theorem is referenced by:  hosubfni  29475  hosubcl  29477  hodsi  29479  hocsubdiri  29484  hodseqi  29498  ho0subi  29499  honegsubi  29500  hoaddsubi  29525  hosd1i  29526  honpncani  29531  hoddii  29693  unierri  29808  pjddii  29860
  Copyright terms: Public domain W3C validator