MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hphl 26556
Description: If two points are on the same half-line with endpoint on a line, they are on the same half-plane defined by this line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hphl.a (𝜑𝐴𝐷)
hphl.b (𝜑𝐵𝑃)
hphl.c (𝜑𝐶𝑃)
hphl.1 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
hphl.2 (𝜑𝐵(𝐾𝐴)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hphl (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hphl
StepHypRef Expression
1 hphl.2 . 2 (𝜑𝐵(𝐾𝐴)𝐶)
2 hphl.1 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
3 hpgid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hphl.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
9 hpgid.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10 hphl.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
11 hphl.a . . 3 (𝜑𝐴𝐷)
12 hpgid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
13 hphl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
143, 4, 13, 8, 10, 12, 6, 5, 1hlln 26392 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
1514orcd 869 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
163, 5, 4, 6, 10, 12, 8, 15colrot2 26345 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
173, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 13colhp 26555 . 2 (𝜑 → (𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵(𝐾𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
181, 2, 17mpbir2and 711 1 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wrex 3139  cdif 3932   class class class wbr 5065  {copab 5127  ran crn 5555  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  TarskiGcstrkg 26215  Itvcitv 26221  LineGclng 26222  hlGchlg 26385  hpGchpg 26542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13922  df-s1 13949  df-s2 14209  df-s3 14210  df-trkgc 26233  df-trkgb 26234  df-trkgcb 26235  df-trkgld 26237  df-trkg 26238  df-cgrg 26296  df-leg 26368  df-hlg 26386  df-mir 26438  df-rag 26479  df-perpg 26481  df-hpg 26543
This theorem is referenced by:  trgcopy  26589  acopyeu  26619  tgasa1  26643
  Copyright terms: Public domain W3C validator