Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hphl 25708
 Description: If two points are on the same half-line with endpoint on a line, they are on the same half-plane defined by this line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hphl.a (𝜑𝐴𝐷)
hphl.b (𝜑𝐵𝑃)
hphl.c (𝜑𝐶𝑃)
hphl.1 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
hphl.2 (𝜑𝐵(𝐾𝐴)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hphl (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hphl
StepHypRef Expression
1 hphl.2 . . 3 (𝜑𝐵(𝐾𝐴)𝐶)
2 hphl.1 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
31, 2jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐵(𝐾𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝐷))
4 hpgid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 hpgid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 hpgid.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 hpgid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgid.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 hphl.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
10 hpgid.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
11 hphl.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
12 hphl.a . . 3 (𝜑𝐴𝐷)
13 hpgid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
14 hphl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
154, 5, 14, 9, 11, 13, 7, 6, 1hlln 25547 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
1615orcd 406 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
174, 6, 5, 7, 11, 13, 9, 16colrot2 25500 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 14colhp 25707 . 2 (𝜑 → (𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵(𝐾𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
193, 18mpbird 247 1 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   class class class wbr 4685  {copab 4745  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  hlGchlg 25540  hpGchpg 25694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkgld 25396  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-hlg 25541  df-mir 25593  df-rag 25634  df-perpg 25636  df-hpg 25695 This theorem is referenced by:  acopyeu  25770  tgasa1  25784
 Copyright terms: Public domain W3C validator