Theorem hsmex3 9850

Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9050, using strict comparison (an easy corollary by separation). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hsmex3	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≺ 𝑋} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8531	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≺ 𝑋 → 𝑥 ≼ 𝑋)
2	1	ralimi 3160	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≺ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋)
3	2	ss2abi 4042	. 2 ⊢ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≺ 𝑋} ⊆ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
4		hsmex2 9849	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)
5		ssexg 5219	. 2 ⊢ (({𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≺ 𝑋} ⊆ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∧ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V) → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≺ 𝑋} ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 589	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≺ 𝑋} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  {cab 2799  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349   ≼ cdom 8501   ≺ csdm 8502  TCctc 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-reg 9050  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-smo 7977  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-oi 8968  df-har 9016  df-wdom 9017  df-tc 9173  df-r1 9187  df-rank 9188

This theorem is referenced by: (None)