Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsn0elch 27951
 Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch {0} ∈ C

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27706 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 snssi 4308 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → {0} ⊆ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 {0} ⊆ ℋ
41elexi 3199 . . . . 5 0 ∈ V
54snid 4179 . . . 4 0 ∈ {0}
63, 5pm3.2i 471 . . 3 ({0} ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ {0})
7 velsn 4164 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
8 velsn 4164 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 = 0)
9 oveq12 6613 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 0))
101hvaddid2i 27732 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
119, 10syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
12 ovex 6632 . . . . . . . 8 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
1312elsn 4163 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 0)
1411, 13sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {0})
157, 8, 14syl2anb 496 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {0} ∧ 𝑦 ∈ {0}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {0})
1615rgen2a 2971 . . . 4 𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0}
17 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0))
18 hvmul0 27727 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
1917, 18sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
20 ovex 6632 . . . . . . . 8 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
2120elsn 4163 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
2219, 21sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
238, 22sylan2b 492 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
2423rgen2 2969 . . . 4 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0}
2516, 24pm3.2i 471 . . 3 (∀𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
26 issh2 27912 . . 3 ({0} ∈ S ↔ (({0} ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ {0}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})))
276, 25, 26mpbir2an 954 . 2 {0} ∈ S
284fconst2 6424 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶{0} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0}))
29 hlim0 27938 . . . . . . 7 (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0
30 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑓 = (ℕ × {0}) → (𝑓𝑣 0 ↔ (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0))
3129, 30mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑓 = (ℕ × {0}) → 𝑓𝑣 0)
3228, 31sylbi 207 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶{0} → 𝑓𝑣 0)
33 hlimuni 27941 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 0𝑓𝑣 𝑥) → 0 = 𝑥)
3433eleq1d 2683 . . . . 5 ((𝑓𝑣 0𝑓𝑣 𝑥) → (0 ∈ {0} ↔ 𝑥 ∈ {0}))
3532, 34sylan 488 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (0 ∈ {0} ↔ 𝑥 ∈ {0}))
365, 35mpbii 223 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})
3736gen2 1720 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})
38 isch2 27926 . 2 ({0} ∈ C ↔ ({0} ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})))
3927, 37, 38mpbir2an 954 1 {0} ∈ C
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1478   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  ⟶wf 5843  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℕcn 10964   ℋchil 27622   +ℎ cva 27623   ·ℎ csm 27624  0ℎc0v 27627   ⇝𝑣 chli 27630   Sℋ csh 27631   Cℋ cch 27632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-lm 20943  df-haus 21029  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-hnorm 27671  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-sh 27910  df-ch 27924 This theorem is referenced by:  h0elch  27958  h1de2ctlem  28260
 Copyright terms: Public domain W3C validator