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Theorem hspdifhsp 41151
 Description: A n-dimensional half-open interval is the intersection of the difference of half spaces. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspdifhsp.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hspdifhsp.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hspdifhsp.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
Assertion
Ref Expression
hspdifhsp (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Proof of Theorem hspdifhsp
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑖𝜑
2 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑖𝑓
3 nfixp1 7970 . . . . . . . . 9 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))
42, 3nfel 2806 . . . . . . . 8 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))
51, 4nfan 1868 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
6 ixpfn 7956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
76ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
8 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
98oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) = (-∞(,)(𝐵𝑖)))
10 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐵𝑖)))
119, 10eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
12 eqimss 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞(,)(𝐵𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
14 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ
15 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) = ℝ)
1614, 15syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
1713, 16pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)
18 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
20 hspdifhsp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2120ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2221rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
2322adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
24 hspdifhsp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
26 icossre 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
2725, 22, 26syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
2827adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
29 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
30 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
31 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑘))
32 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑘 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑘))
3331, 32oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3433fvixp 7955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3529, 30, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3635adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3728, 36sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
3837mnfltd 11996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → -∞ < (𝑓𝑘))
3925rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
4039adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
41 icoltub 40050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) → (𝑓𝑘) < (𝐵𝑘))
4240, 23, 36, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) < (𝐵𝑘))
4319, 23, 37, 38, 42eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑘)))
4417, 43sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
4544adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
4645ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
477, 46jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)))
48 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
4948elixp 7957 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)))
5047, 49sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
51 hspdifhsp.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
52 equequ1 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑙𝑘 = 𝑙))
5352ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5453cbvixpv 7968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙𝑥𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5655mpt2eq3ia 6762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5756mpteq2i 4774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
5851, 57eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
59 hspdifhsp.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
61 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6220adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6362, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6458, 60, 61, 63hspval 41144 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
6564adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
6650, 65eleqtrrd 2733 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
6718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → -∞ ∈ ℝ*)
6824adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6968, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
7069rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
72 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
7358, 60, 61, 69hspval 41144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7572, 74eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7661adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑖𝑋)
77 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐴𝑖)))
7877fvixp 7955 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
7975, 76, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
80 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8167, 71, 79, 80syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8281adantllr 755 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8370adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
8463rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
8584adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
8648elixp 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
8786biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
8887simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
89 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
9088, 89sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
9190adantll 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
92 icogelb 12263 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
9383, 85, 91, 92syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
9469adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
95 icossre 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9669, 84, 95syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9796adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9897, 91sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
9994, 98lenltd 10221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖) ↔ ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)))
10093, 99mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
101100adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
10282, 101pm2.65da 599 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
10366, 102eldifd 3618 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
104103ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → (𝑖𝑋𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
1055, 104ralrimi 2986 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
106 eliin 4557 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
10748, 106ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
108105, 107sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
109108ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
110 hspdifhsp.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
111 n0 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑋)
112111biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑘𝑋)
113110, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘𝑋)
114113adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → ∃𝑘 𝑘𝑋)
115 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
116 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑘)
118117, 32oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
119117, 31oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘)))
120118, 119difeq12d 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) = ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘))))
121120eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘)))))
122115, 116, 121eliind 39554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘))))
123122eldifad 3619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
124123adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
125 equequ1 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = → (𝑖 = 𝑙 = 𝑙))
126125ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
127126cbvixpv 7968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑙𝑥𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
129128mpt2eq3ia 6762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
130129mpteq2i 4774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
13151, 130eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
13259ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
133 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
13421adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
135131, 132, 133, 134hspval 41144 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) = X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ))
136124, 135eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ))
137 ixpfn 7956 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
139138ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑘𝑋𝑓 Fn 𝑋))
140139exlimdv 1901 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (∃𝑘 𝑘𝑋𝑓 Fn 𝑋))
141114, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓 Fn 𝑋)
142 nfii1 4583 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
1432, 142nfel 2806 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
1441, 143nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
145 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
146107biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
147146adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
148 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
149 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
150147, 148, 149syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
151150adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
152 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
15370adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
15484adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
155 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
156 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
157156ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
158 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
159 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
160 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
16164adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
162160, 161eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
163 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
16410fvixp 7955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖)))
165162, 163, 164syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖)))
166159, 165sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
167155, 157, 158, 166syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
168167rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ*)
169 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝜑)
170156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
171169, 170jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))))
172171ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))))
173 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑖𝑋)
174 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
175 ixpfn 7956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
176162, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
177176adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
178 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
179178adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
18018a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → -∞ ∈ ℝ*)
18170ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
182166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
183182mnfltd 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → -∞ < (𝑓𝑖))
184 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
185180, 181, 182, 183, 184eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
187179, 186eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
188187adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
18977eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐴𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
190189adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (-∞(,)(𝐴𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
191188, 190eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
19210, 159syl6eqss 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
193 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ ⊆ ℝ
19415, 193syl6eqss 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
195192, 194pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ
196162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
197 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
198 fvixp2 39703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
199196, 197, 198syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
200195, 199sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
202 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = ℝ)
203202eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘 = 𝑖 → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
204203adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
205201, 204eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
206205adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
207191, 206pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
208207ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
209177, 208jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ)))
21048elixp 7957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ)))
211209, 210sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
21273eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
213212ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
214211, 213eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
215172, 173, 174, 214syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
216 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
217216ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
218215, 217pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
219155, 158, 69syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
220219, 167lenltd 10221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖) ↔ ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)))
221218, 220mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
22218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
22384adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
224 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
225222, 223, 165, 224syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
226155, 157, 158, 225syl21anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
227153, 154, 168, 221, 226elicod 12262 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
228145, 151, 152, 227syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
229228ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑖𝑋 → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
230144, 229ralrimi 2986 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
231141, 230jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
232231, 86sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
233232ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
234109, 233impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
235234alrimiv 1895 . 2 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
236 dfcleq 2645 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑓(𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
237235, 236sylibr 224 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∀wal 1521   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ifcif 4119  ∩ ciin 4553   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  Xcixp 7950  Fincfn 7997  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  (,)cioo 12213  [,)cico 12215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-ico 12219 This theorem is referenced by:  hoimbllem  41165
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