Theorem hstle1 30005

Description: The norm of the value of a Hilbert-space-valued state is less than or equal to one. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstle1	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem hstle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choccl 29085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
2		hstcl 29996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
4		normcl 28904	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
6	5	sqge0d 13615	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
7		hstcl 29996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
8		normcl 28904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 13614	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
11	5	resqcld 13614	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℝ)
12	10, 11	addge01d 11230	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0 ≤ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))))
13	6, 12	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)))
14		hstnmoc 30002	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
15		sq1 13561	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
16	14, 15	syl6eqr 2876	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = (1↑2))
17	13, 16	breqtrd 5094	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ (1↑2))
18		normge0 28905	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
19	7, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
20		1re 10643	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		0le1 11165	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
22		le2sq 13502	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ 1 ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ (1↑2)))
23	20, 21, 22	mpanr12 703	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ 1 ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ (1↑2)))
24	9, 19, 23	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ 1 ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ (1↑2)))
25	17, 24	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   ≤ cle 10678  2c2 11695  ↑cexp 13432   ℋchba 28698  norm_ℎcno 28702   C_ℋ cch 28708  ⊥cort 28709  CHStateschst 28742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his1 28861  ax-his2 28862  ax-his3 28863  ax-his4 28864  ax-hcompl 28981

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-lm 21839  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cau 23861  df-grpo 28272  df-gid 28273  df-ginv 28274  df-gdiv 28275  df-ablo 28324  df-vc 28338  df-nv 28371  df-va 28374  df-ba 28375  df-sm 28376  df-0v 28377  df-vs 28378  df-nmcv 28379  df-ims 28380  df-dip 28480  df-hnorm 28747  df-hvsub 28750  df-hlim 28751  df-hcau 28752  df-sh 28986  df-ch 29000  df-oc 29031  df-ch0 29032  df-chj 29089  df-hst 29991

This theorem is referenced by:  hstle  30009  hstles  30010