Theorem hstoht 10154

Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice unit is zero.

Assertion

Ref	Expression
hstoht	⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → (S ‘A) = 0h)

Proof of Theorem hstoht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his7t 8951	. . . . . . . 8 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℋ ⋀ (S ‘A) ∈ ℋ ⋀ (S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ ) → ((S ‘A) ·ih ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A)))) = (((S ‘A) ·ih (S ‘A)) + ((S ‘A) ·ih (S ‘(⊥ ‘A)))))
2		hstclt 10139	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (S ‘A) ∈ ℋ )
3		hstclt 10139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ ) → (S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ )
4		chocclt 9179	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ Cℋ → (⊥ ‘A) ∈ Cℋ )
5	3, 4	sylan2 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ )
6	1, 2, 2, 5	syl3anc 860	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) ·ih ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A)))) = (((S ‘A) ·ih (S ‘A)) + ((S ‘A) ·ih (S ‘(⊥ ‘A)))))
7		normsqt 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((S ‘A) ∈ ℋ → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = ((S ‘A) ·ih (S ‘A)))
8	2, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = ((S ‘A) ·ih (S ‘A)))
9	8	eqcomd 1483	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) ·ih (S ‘A)) = ((normh ‘(S ‘A))↑2))
10		ococt 9243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ Cℋ → (⊥ ‘(⊥ ‘A)) = A)
11		eqimss2 2113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊥ ‘(⊥ ‘A)) = A → A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A)))
12	10, 11	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ Cℋ → A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A)))
13	4, 12	jca 288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ Cℋ → ((⊥ ‘A) ∈ Cℋ ⋀ A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A))))
14	13	adantl 390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) ∈ Cℋ ⋀ A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A))))
15		hstortht 10142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ ((⊥ ‘A) ∈ Cℋ ⋀ A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A)))) → ((S ‘A) ·ih (S ‘(⊥ ‘A))) = 0)
16	14, 15	mpdan 706	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) ·ih (S ‘(⊥ ‘A))) = 0)
17	9, 16	opreq12d 3984	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (((S ‘A) ·ih (S ‘A)) + ((S ‘A) ·ih (S ‘(⊥ ‘A)))) = (((normh ‘(S ‘A))↑2) + 0))
18		normclt 8986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((S ‘A) ∈ ℋ → (normh ‘(S ‘A)) ∈ ℝ)
19	2, 18	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (normh ‘(S ‘A)) ∈ ℝ)
20		resqclt 6622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((normh ‘(S ‘A)) ∈ ℝ → ((normh ‘(S ‘A))↑2) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) ∈ ℝ)
22	21	recnd 5327	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) ∈ ℂ)
23		ax0id 5293	. . . . . . . 8 ⊢ (((normh ‘(S ‘A))↑2) ∈ ℂ → (((normh ‘(S ‘A))↑2) + 0) = ((normh ‘(S ‘A))↑2))
24	22, 23	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (((normh ‘(S ‘A))↑2) + 0) = ((normh ‘(S ‘A))↑2))
25	6, 17, 24	3eqtrrd 1515	. . . . . 6 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = ((S ‘A) ·ih ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A)))))
26		hstoct 10144	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A))) = (S ‘ ℋ ))
27	26	opreq2d 3982	. . . . . 6 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) ·ih ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A)))) = ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )))
28	25, 27	eqtrd 1510	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )))
29		id 59	. . . . 5 ⊢ (((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0 → ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0)
30	28, 29	sylan9eq 1530	. . . 4 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = 0)
31	30	3impa 830	. . 3 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = 0)
32	19	recnd 5327	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (normh ‘(S ‘A)) ∈ ℂ)
33		sqeq0t 6614	. . . . 5 ⊢ ((normh ‘(S ‘A)) ∈ ℂ → (((normh ‘(S ‘A))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(S ‘A)) = 0))
34	32, 33	syl 10	. . . 4 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (((normh ‘(S ‘A))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(S ‘A)) = 0))
35	34	3adant3 801	. . 3 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → (((normh ‘(S ‘A))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(S ‘A)) = 0))
36	31, 35	mpbid 195	. 2 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → (normh ‘(S ‘A)) = 0)
37		hst0ht 10150	. . 3 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A)) = 0 ↔ (S ‘A) = 0h))
38	37	3adant3 801	. 2 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → ((normh ‘(S ‘A)) = 0 ↔ (S ‘A) = 0h))
39	36, 38	mpbid 195	1 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ⋀ ((S ‘A) ·ih (S ‘ ℋ )) = 0) → (S ‘A) = 0h)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ⊆ wss 2050   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249  2c2 5963  ↑cexp 6569   ℋ chil 8783   +_h cva 8784  0_hc0v 8786   ·_ih csp 8788  norm_hcno 8789   C_ℋ cch 8793  ⊥cort 8794  CHStateschst 8827

This theorem is referenced by:  hst0t 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-shsum 9268  df-chj 9270  df-hst 10135

Copyright terms: Public domain