Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstpyth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstpyth 29397
 Description: Pythagorean property of a Hilbert-space-valued state for orthogonal vectors 𝐴 and 𝐵. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstpyth (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))

Proof of Theorem hstpyth
StepHypRef Expression
1 hstosum 29389 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))
21fveq2d 6356 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵))) = (norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵))))
32oveq1d 6828 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵)))↑2) = ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2))
4 hstcl 29385 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
54adantr 472 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
6 hstcl 29385 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
76ad2ant2r 800 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
8 hstorth 29388 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐵)) = 0)
9 normpyth 28311 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝐵) ∈ ℋ) → (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐵)) = 0 → ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2))))
1093impia 1110 . . 3 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝐵) ∈ ℋ ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐵)) = 0) → ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
115, 7, 8, 10syl3anc 1477 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
123, 11eqtrd 2794 1 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 𝐵)))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128   + caddc 10131  2c2 11262  ↑cexp 13054   ℋchil 28085   +ℎ cva 28086   ·ih csp 28088  normℎcno 28089   Cℋ cch 28095  ⊥cort 28096   ∨ℋ chj 28099  CHStateschst 28129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hv0cl 28169  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his2 28249  ax-his3 28250  ax-his4 28251 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-hnorm 28134  df-sh 28373  df-ch 28387  df-hst 29380 This theorem is referenced by:  hstle  29398
 Copyright terms: Public domain W3C validator