Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpycc 22826
 Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))))
htpycc.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpycc.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.6 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
htpycc.8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Assertion
Ref Expression
htpycc (𝜑𝑁 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpycc.4 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpycc.6 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 htpycc.1 . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))))
5 iitopon 22729 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 eqid 2651 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
8 eqid 2651 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
9 eqid 2651 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
10 dfii2 22732 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
11 0red 10079 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 1red 10093 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13 halfre 11284 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
14 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
15 halfgt0 11286 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
1614, 13, 15ltleii 10198 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 2)
17 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
18 halflt1 11288 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
1913, 17, 18ltleii 10198 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
2014, 17elicc2i 12277 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
2113, 16, 19, 20mpbir3an 1263 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
23 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
24 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
251, 2, 23, 24htpyi 22820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑠𝐿0) = (𝐹𝑠) ∧ (𝑠𝐿1) = (𝐺𝑠)))
2625simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿1) = (𝐺𝑠))
27 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
281, 23, 3, 27htpyi 22820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑠𝑀0) = (𝐺𝑠) ∧ (𝑠𝑀1) = (𝐻𝑠)))
2928simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑀0) = (𝐺𝑠))
3026, 29eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0))
3130ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑠𝑋 (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0))
32 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠𝐿1) = (𝑥𝐿1))
33 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠𝑀0) = (𝑥𝑀0))
3432, 33eqeq12d 2666 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → ((𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0) ↔ (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0)))
3534rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑠𝑋 (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
3631, 35sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
3736adantrl 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
38 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑦 = (1 / 2))
3938oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
40 2cn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
41 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4240, 41recidi 10794 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
4339, 42syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (2 · 𝑦) = 1)
4443oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑥𝐿1))
4543oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
46 1m1e0 11127 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4745, 46syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
4847oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)) = (𝑥𝑀0))
4937, 44, 483eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))
50 retopon 22614 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
51 iccssre 12293 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
5214, 13, 51mp2an 708 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
53 resttopon 21013 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
5450, 52, 53mp2an 708 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
5655, 1cnmpt2nd 21520 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5755, 1cnmpt1st 21519 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
588iihalf1cn 22778 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
60 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑦))
6155, 1, 57, 55, 59, 60cnmpt21 21522 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋 ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn II))
621, 2, 23htpycn 22819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6362, 24sseldd 3637 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6455, 1, 56, 61, 63cnmpt22f 21526 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐿(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn 𝐾))
65 iccssre 12293 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
6613, 17, 65mp2an 708 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
67 resttopon 21013 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
6850, 66, 67mp2an 708 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
7069, 1cnmpt2nd 21520 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7169, 1cnmpt1st 21519 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
729iihalf2cn 22780 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
7460oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((2 · 𝑧) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
7569, 1, 71, 69, 73, 74cnmpt21 21522 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋 ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn II))
761, 23, 3htpycn 22819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
7776, 27sseldd 3637 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
7869, 1, 70, 75, 77cnmpt22f 21526 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn 𝐾))
797, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 1, 49, 64, 78cnmpt2pc 22774 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑥𝑋 ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t 𝐽) Cn 𝐾))
806, 1, 79cnmptcom 21529 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
814, 80syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
82 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
83 0elunit 12328 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
84 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8584, 16syl6eqbr 4724 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 ≤ (1 / 2))
8685iftrued 4127 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑥𝐿(2 · 𝑦)))
87 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8884oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑦) = (2 · 0))
89 2t0e0 11221 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
9088, 89syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑦) = 0)
9187, 90oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑠𝐿0))
9286, 91eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑠𝐿0))
93 ovex 6718 . . . . 5 (𝑠𝐿0) ∈ V
9492, 4, 93ovmpt2a 6833 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = (𝑠𝐿0))
9582, 83, 94sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = (𝑠𝐿0))
9625simpld 474 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿0) = (𝐹𝑠))
9795, 96eqtrd 2685 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = (𝐹𝑠))
98 1elunit 12329 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
9913, 17ltnlei 10196 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
10018, 99mpbi 220 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
101 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
102101breq1d 4695 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
103100, 102mtbiri 316 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))
104103iffalsed 4130 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))
105 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
106101oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑦) = (2 · 1))
107 2t1e2 11214 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
108106, 107syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑦) = 2)
109108oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (2 − 1))
110 2m1e1 11173 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
111109, 110syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑦) − 1) = 1)
112105, 111oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)) = (𝑠𝑀1))
113104, 112eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑠𝑀1))
114 ovex 6718 . . . . 5 (𝑠𝑀1) ∈ V
115113, 4, 114ovmpt2a 6833 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = (𝑠𝑀1))
11682, 98, 115sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = (𝑠𝑀1))
11728simprd 478 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑀1) = (𝐻𝑠))
118116, 117eqtrd 2685 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = (𝐻𝑠))
1191, 2, 3, 81, 97, 118ishtpyd 22821 1 (𝜑𝑁 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216   ↾t crest 16128  topGenctg 16145  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  IIcii 22725   Htpy chtpy 22813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727  df-htpy 22816 This theorem is referenced by:  phtpycc  22837
 Copyright terms: Public domain W3C validator