MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco1 22824
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
htpyco1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyco1.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpyco1.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyco1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
4 cnco 21118 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
52, 3, 4syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6 htpyco1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 21118 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
82, 6, 7syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco1.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
10 iitopon 22729 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
121, 11cnmpt1st 21519 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
131, 11, 12, 2cnmpt21f 21523 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑃𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
141, 11cnmpt2nd 21520 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
15 cntop2 21093 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 eqid 2651 . . . . . . . 8 𝐾 = 𝐾
1817toptopon 20770 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1916, 18sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2019, 3, 6htpycn 22819 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺) ⊆ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
21 htpyco1.h . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
2220, 21sseldd 3637 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
231, 11, 13, 14, 22cnmpt22f 21526 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
249, 23syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
25 cnf2 21101 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑃:𝑋 𝐾)
261, 19, 2, 25syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑋 𝐾)
2726ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑃𝑠) ∈ 𝐾)
2819, 3, 6, 21htpyi 22820 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑠) ∈ 𝐾) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2927, 28syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
3029simpld 474 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
31 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
32 0elunit 12328 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
33 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑠))
34 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0)
3533, 34oveqan12d 6709 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
36 ovex 6718 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻0) ∈ V
3735, 9, 36ovmpt2a 6833 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
3831, 32, 37sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
39 fvco3 6314 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4026, 39sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4130, 38, 403eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝐹𝑃)‘𝑠))
4229simprd 478 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
43 1elunit 12329 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
44 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → 𝑦 = 1)
4533, 44oveqan12d 6709 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
46 ovex 6718 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻1) ∈ V
4745, 9, 46ovmpt2a 6833 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
4831, 43, 47sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
49 fvco3 6314 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5026, 49sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5142, 48, 503eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝐺𝑃)‘𝑠))
521, 5, 8, 24, 41, 51ishtpyd 22821 1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   cuni 4468  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975  [,]cicc 12216  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  IIcii 22725   Htpy chtpy 22813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079  df-tx 21413  df-ii 22727  df-htpy 22816
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator