MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpycom 22698
Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ishtpy.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
ishtpy.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
ishtpy.4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycom.6 𝑀 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
htpycom.7 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpycom (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpycom
Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishtpy.1 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 ishtpy.4 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 ishtpy.3 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 htpycom.6 . . 3 𝑀 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
5 iitopon 22605 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
71, 6cnmpt1st 21394 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
81, 6cnmpt2nd 21395 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
9 iirevcn 22652 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
11 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
121, 6, 8, 6, 10, 11cnmpt21 21397 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
131, 3, 2htpycn 22695 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
14 htpycom.7 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
1513, 14sseldd 3588 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
161, 6, 7, 12, 15cnmpt22f 21401 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
174, 16syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
18 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑋) → 𝑡𝑋)
19 0elunit 12240 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
20 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (𝑡𝐻(1 − 𝑦)))
21 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
22 1m0e1 11083 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
2321, 22syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (1 − 𝑦) = 1)
2423oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (𝑡𝐻(1 − 𝑦)) = (𝑡𝐻1))
25 ovex 6638 . . . . 5 (𝑡𝐻1) ∈ V
2620, 24, 4, 25ovmpt2 6756 . . . 4 ((𝑡𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑡𝑀0) = (𝑡𝐻1))
2718, 19, 26sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝑡𝑋) → (𝑡𝑀0) = (𝑡𝐻1))
281, 3, 2, 14htpyi 22696 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑋) → ((𝑡𝐻0) = (𝐹𝑡) ∧ (𝑡𝐻1) = (𝐺𝑡)))
2928simprd 479 . . 3 ((𝜑𝑡𝑋) → (𝑡𝐻1) = (𝐺𝑡))
3027, 29eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑡𝑋) → (𝑡𝑀0) = (𝐺𝑡))
31 1elunit 12241 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
32 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
33 1m1e0 11041 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
3432, 33syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (1 − 𝑦) = 0)
3534oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑡𝐻(1 − 𝑦)) = (𝑡𝐻0))
36 ovex 6638 . . . . 5 (𝑡𝐻0) ∈ V
3720, 35, 4, 36ovmpt2 6756 . . . 4 ((𝑡𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑡𝑀1) = (𝑡𝐻0))
3818, 31, 37sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝑡𝑋) → (𝑡𝑀1) = (𝑡𝐻0))
3928simpld 475 . . 3 ((𝜑𝑡𝑋) → (𝑡𝐻0) = (𝐹𝑡))
4038, 39eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑡𝑋) → (𝑡𝑀1) = (𝐹𝑡))
411, 2, 3, 17, 30, 40ishtpyd 22697 1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  0cc0 9888  1c1 9889  cmin 10218  [,]cicc 12128  TopOnctopon 20647   Cn ccn 20951   ×t ctx 21286  IIcii 22601   Htpy chtpy 22689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-ii 22603  df-htpy 22692
This theorem is referenced by:  phtpycom  22710
  Copyright terms: Public domain W3C validator