HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2times 28046
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2times (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem hv2times
StepHypRef Expression
1 df-2 11117 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 6700 . . 3 (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 ax-hvdistr2 27994 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1454 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
62, 5syl5eq 2697 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7 ax-hvdistr1 27993 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
83, 7mp3an1 1451 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
98anidms 678 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
10 hvaddcl 27997 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ)
1110anidms 678 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 27991 . . 3 ((𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
146, 9, 133eqtr2d 2691 1 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977  2c2 11108  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-1cn 10032  ax-hfvadd 27985  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-2 11117
This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  28049  mayete3i  28715
  Copyright terms: Public domain W3C validator