HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddsub4 27784
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 27718 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
21adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
3 hvaddcl 27718 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
43adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 27718 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
65ancoms 469 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
76ad2ant2lr 783 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
8 hvsubcan2 27781 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
92, 4, 7, 8syl3anc 1323 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
10 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
1110anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
1211ancoms 469 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13 hvsub4 27743 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
1412, 13syldan 487 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
15 hvsubid 27732 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
1615ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐵) = 0)
1716oveq2d 6620 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + 0))
18 hvsubcl 27723 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℋ)
19 ax-hvaddid 27710 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2120adantlr 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2214, 17, 213eqtrd 2659 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
2322adantrr 752 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
24 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
2524anim1i 591 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26 hvsub4 27743 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
2725, 26syldan 487 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
28 hvsubid 27732 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 𝐶) = 0)
2928ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐶) = 0)
3029oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)) = (0 + (𝐷 𝐵)))
31 hvsubcl 27723 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 𝐵) ∈ ℋ)
32 hvaddid2 27729 . . . . . . . 8 ((𝐷 𝐵) ∈ ℋ → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3433adantll 749 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3527, 30, 343eqtrd 2659 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3635ancoms 469 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3736adantll 749 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3823, 37eqeq12d 2636 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
399, 38bitr3d 270 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  chil 27625   + cva 27626  0c0v 27630   cmv 27631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvmulass 27713  ax-hvdistr1 27714  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-hvsub 27677
This theorem is referenced by:  shuni  28008  cdjreui  29140
  Copyright terms: Public domain W3C validator