Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmap1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmap1o2 36520
Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmap1o2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o2.z 0 = (0g𝑈)
hvmap1o2.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
hvmap1o2.o 𝑂 = (0g𝐶)
hvmap1o2.m 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hvmap1o2 (𝜑𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Proof of Theorem hvmap1o2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmap1o2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2626 . . 3 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 hvmap1o2.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hvmap1o2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 hvmap1o2.z . . 3 0 = (0g𝑈)
6 eqid 2626 . . 3 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7 eqid 2626 . . 3 (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8 eqid 2626 . . 3 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9 eqid 2626 . . 3 (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
10 eqid 2626 . . 3 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
11 hvmap1o2.m . . 3 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
12 hvmap1o2.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hvmap1o 36518 . 2 (𝜑𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
14 hvmap1o2.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15 hvmap1o2.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
161, 2, 14, 15, 3, 6, 7, 10, 12lcdvbase 36348 . . . 4 (𝜑𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
17 hvmap1o2.o . . . . . 6 𝑂 = (0g𝐶)
181, 3, 8, 9, 14, 17, 12lcd0v2 36367 . . . . 5 (𝜑𝑂 = (0g‘(LDual‘𝑈)))
1918sneqd 4165 . . . 4 (𝜑 → {𝑂} = {(0g‘(LDual‘𝑈))})
2016, 19difeq12d 3712 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
21 f1oeq3 6088 . . 3 ((𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}) → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
2220, 21syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
2313, 22mpbird 247 1 (𝜑𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  cdif 3557  {csn 4153  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  Basecbs 15776  0gc0g 16016  LFnlclfn 33810  LKerclk 33838  LDualcld 33876  HLchlt 34103  LHypclh 34736  DVecHcdvh 35833  ocHcoch 36102  LCDualclcd 36341  HVMapchvm 36511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-undef 7345  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-0g 16018  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-subg 17507  df-cntz 17666  df-oppg 17692  df-lsm 17967  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-drng 18665  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-lvec 19017  df-lsatoms 33729  df-lshyp 33730  df-lcv 33772  df-lfl 33811  df-lkr 33839  df-ldual 33877  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912  df-tgrp 35497  df-tendo 35509  df-edring 35511  df-dveca 35757  df-disoa 35784  df-dvech 35834  df-dib 35894  df-dic 35928  df-dih 35984  df-doch 36103  df-djh 36150  df-lcdual 36342  df-hvmap 36512
This theorem is referenced by:  hvmapcl2  36521
  Copyright terms: Public domain W3C validator