Theorem hvmul0or 28804

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmul0or	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Proof of Theorem hvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 3019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
3	2	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ))
4		recid2 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
6	5	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵))
7		reccl 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8	7	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℋ)
11		ax-hvmulass 28786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
13		ax-hvmulid 28785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
14	13	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
15	6, 12, 14	3eqtr3d 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
16	15	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
17		hvmul0 28803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	18	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
20	19	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
21	3, 16, 20	3eqtr3d 2866	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 0ℎ)
22	21	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 0ℎ))
23	1, 22	syl5bir 245	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0ℎ))
24	23	orrd 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ))
25	24	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))
26		ax-hvmul0 28789	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
27		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
28	27	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
29	26, 28	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
30	29	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
31		hvmul0 28803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
32		oveq2 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 0ℎ))
33	32	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0ℎ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ))
34	31, 33	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
35	34	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 = 0ℎ → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
36	30, 35	jaod 855	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
37	25, 36	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0ℎ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   / cdiv 11299   ℋchba 28698   ·_ℎ csm 28700  0_ℎc0v 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-hv0cl 28782  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvmul0 28789

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300

This theorem is referenced by:  hvmulcan  28851  hvmulcan2  28852  nmlnop0iALT  29774