HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcli 27720
Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmulcl.1 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvmulcli (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli
StepHypRef Expression
1 hvmulcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 hvmulcl.2 . 2 𝐵 ∈ ℋ
3 hvmulcl 27719 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
41, 2, 3mp2an 707 1 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  chil 27625   · csm 27627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-hfvmul 27711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  27765  hvnegdii  27768  hvsubeq0i  27769  hvsubcan2i  27770  hvaddcani  27771  hvsubaddi  27772  normlem0  27815  normlem5  27820  normlem9  27824  bcseqi  27826  norm-iii-i  27845  norm3difi  27853  normpar2i  27862  polid2i  27863  polidi  27864  h1de2i  28261  pjsubii  28386  eigposi  28544  lnop0  28674  lnopunilem1  28718  lnophmlem2  28725  lnfn0i  28750
  Copyright terms: Public domain W3C validator