HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulex 27040
Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulex · ∈ V

Proof of Theorem hvmulex
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 27034 . 2 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2 cnex 9772 . . 3 ℂ ∈ V
3 ax-hilex 27028 . . 3 ℋ ∈ V
42, 3xpex 6736 . 2 (ℂ × ℋ) ∈ V
5 fex 6271 . 2 (( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → · ∈ V)
61, 4, 5mp2an 703 1 · ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1938  Vcvv 3077   × cxp 4930  wf 5685  cc 9689  chil 26948   · csm 26950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-hilex 27028  ax-hfvmul 27034
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697
This theorem is referenced by:  hhph  27207  hhssva  27286  hhsssm  27287  hhshsslem1  27296
  Copyright terms: Public domain W3C validator