Theorem hvmulex 27996

Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulex	⊢ ·ℎ ∈ V

Proof of Theorem hvmulex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 27990	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2		cnex 10055	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3		ax-hilex 27984	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
4	2, 3	xpex 7004	. 2 ⊢ (ℂ × ℋ) ∈ V
5		fex 6530	. 2 ⊢ (( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → ·ℎ ∈ V)
6	1, 4, 5	mp2an 708	1 ⊢ ·ℎ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ℂcc 9972   ℋchil 27904   ·_ℎ csm 27906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-hilex 27984  ax-hfvmul 27990

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934

This theorem is referenced by:  hhph  28163  hhssva  28242  hhsssm  28243  hhshsslem1  28252