HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvpncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvpncan 27086
Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvpncan ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem hvpncan
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 27059 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
2 hvsubval 27063 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)))
31, 2sylancom 697 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)))
4 neg1cn 10971 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 hvmulcl 27060 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
64, 5mpan 701 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
76ancli 571 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ))
8 ax-hvass 27049 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))))
983expb 1257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))))
107, 9sylan2 489 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))))
11 hvnegid 27074 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0)
1211oveq2d 6543 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 0))
13 ax-hvaddid 27051 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
1412, 13sylan9eqr 2665 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = 𝐴)
153, 10, 143eqtrd 2647 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790  1c1 9793  -cneg 10118  chil 26966   + cva 26967   · csm 26968  0c0v 26971   cmv 26972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-hfvadd 27047  ax-hvass 27049  ax-hvaddid 27051  ax-hfvmul 27052  ax-hvmulid 27053  ax-hvdistr2 27056  ax-hvmul0 27057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120  df-hvsub 27018
This theorem is referenced by:  hvpncan2  27087  mayete3i  27777  lnop0  28015
  Copyright terms: Public domain W3C validator