HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsub4 27761
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 27736 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
2 hvaddcl 27736 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
3 hvsubval 27740 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
41, 2, 3syl2an 494 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
5 hvsubval 27740 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
65ad2ant2r 782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
7 hvsubval 27740 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
87ad2ant2l 781 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
96, 8oveq12d 6628 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
10 neg1cn 11075 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
11 ax-hvdistr1 27732 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1210, 11mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1312adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1413oveq2d 6626 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
15 hvmulcl 27737 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
1610, 15mpan 705 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
1716anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ))
18 hvmulcl 27737 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)
1910, 18mpan 705 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℋ → (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)
2019anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ))
2117, 20anim12i 589 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)))
2221an4s 868 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)))
23 hvadd4 27760 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
2514, 24eqtr4d 2658 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
269, 25eqtr4d 2658 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
274, 26eqtr4d 2658 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9885  1c1 9888  -cneg 10218  chil 27643   + cva 27644   · csm 27645   cmv 27649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hfvmul 27729  ax-hvdistr1 27732
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-neg 10220  df-hvsub 27695
This theorem is referenced by:  hvaddsub4  27802  5oalem2  28381  3oalem2  28389
  Copyright terms: Public domain W3C validator